ED Mathématiques et Informatique
Actions de groupes arithmétiques : théories de la réduction et algorithmes d'énumération
par Anne-Edgar WILKE (IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux)
Cette soutenance a lieu à 15h30 - Salle de conférences Institut de mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux, bâtiment A33 351 cours de la Libération 33405 Talence
devant le jury composé de
- Florent JOUVE - Professeur - Université de Bordeaux - Examinateur
- Aurel PAGE - Chargé de recherche - Université de Bordeaux - Examinateur
- Michael STOLL - Full professor - Universität Bayreuth - Rapporteur
- Cécile DARTYGE - Maîtresse de conférences - Université de Lorraine - Examinateur
- Emmanuel BREUILLARD - Full professor - University of Oxford - Rapporteur
- Jean-François QUINT - Directeur de recherche - Université de Montpellier - Examinateur
- Sébastien BOUCKSOM - Directeur de recherche - Sorbonne Université - Examinateur
- Stéphane CHARPENTIER - Maître de conférences - Aix Marseille Université - Examinateur
Étant donnée une action d'un groupe arithmétique sur un ensemble, cette thèse s'intéresse à deux problèmes. Le premier est de construire un domaine fondamental explicite, en choisissant dans chaque orbite un représentant particulier, que l'on qualifie de réduit : on dit alors que l'on a défini une théorie de la réduction pour l'action du groupe. Le deuxième est d'énumérer algorithmiquement les orbites vérifiant des conditions données. Le fait de disposer d'une théorie de la réduction permet de ramener les problèmes d'énumération d'orbites à des problèmes d'énumération de points dans le domaine fondamental. La première partie de la thèse est consacrée à un concept analytique qui s'avère important en théorie de la réduction : la pluri-sous-harmonicité. Je commence par rendre plus précise l'analogie connue entre convexité et pluri-sous-harmonicité, puis j'introduis une notion de pluri-sous-harmonicité stricte analogue à la convexité stricte, que j'utilise pour donner une nouvelle démonstration courte et unifiée d'une caractérisation des intégrales directes L^p vérifiant le principe du maximum. La deuxième partie a trait à la recherche de théories de la réduction pour les actions de groupes arithmétiques. Je développe une approche répondant à cette question dans un cadre très général. L'objet sous-jacent, que j'appelle le covariant de Kempf-Ness, généralise les covariants introduits par Hermite, Julia, puis Stoll et Cremona pour la réduction des formes binaires. Je montre que le covariant de Kempf-Ness d'une suite de points de la grassmannienne complexe s'interprète comme un barycentre de ces points ; cela généralise des observations dues à Stoll et Cremona dans le cas de la droite projective, et, indépendamment, à Kapovich, Leeb et Millson dans le cas de l'espace projectif. La troisième partie concerne l'énumération effective des corps de nombres cubiques et quartiques. Grâce à la paramétrisation des corps cubiques découverte par Levi puis par Davenport et Heilbronn, et à celle des corps quartiques découverte par Bhargava, il s'agit en fait de problèmes d'énumération d'orbites. Je montre comment les résoudre en remplaçant le domaine fondamental par une surapproximation définie par des équations plus simples, dites monomiales. Dans le cas cubique, on retrouve essentiellement l'algorithme de Belabas ; dans le cas quartique, on obtient un nouvel algorithme, meilleur que la méthode de Hunter-Martinet, mais moins performant que les approches fondées sur la théorie du corps de classes sous l'hypothèse de Riemann généralisée. Enfin, la quatrième partie présente une autre idée pour obtenir des algorithmes d'énumération d'orbites : recouvrir le domaine fondamental par une famille finie de boules de rayon constant. Je mène à bien cette approche dans le cas des ensembles de Siegel tronqués. Sachant que les domaines fondamentaux utilisés pour les actions de groupes arithmétiques sont généralement formés à partir de ces ensembles, on peut espérer que mon travail donnera naissance à de nombreux algorithmes d'énumération nouveaux.