ED Mathématiques et Informatique
Hypocoercivité semiclassique et loi d'Eyring-Kramers pour des operateurs de Fokker-Planck dégénérés
par Loïs DELANDE (IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux)
Cette soutenance a lieu à 15h00 - Salle de Conférence 351 cours de la Libération, Bâtiment A33 - F 33 405 TALENCE
devant le jury composé de
- Laurent MICHEL - Professeur des universités - Université de Bordeaux - Directeur de these
- Michael HITRIK - Professor - University of California - Rapporteur
- Luc HILLAIRET - Professeur des universités - Université d'Orléans - Rapporteur
- Jean-Marc BOUCLET - Professeur des universités - Université Paul Sabatier - Examinateur
- Mouez DIMASSI - Professeur des universités - Université de Bordeaux - Examinateur
- Tony LELIEVRE - Professeur - Ecole des Ponts ParisTech - Examinateur
- Boris NECTOUX - Professeur assistant - Université Clermont Auvergne - Examinateur
Dans cette thèse, nous étudions certains opérateurs de Fokker-Planck ainsi que le Laplacien de Witten dans un régime de basse température, en considérant des potentiels qui ne sont pas nécessairement Morse. Notre objectif principal est d'analyser le comportement spectral au voisinage de zéro des opérateurs associés, pour lesquels nous visons à fournir une caractérisation précise. Une telle description spectrale permet d'obtenir des informations détaillées sur la dynamique à long terme des solutions, notamment des résultats quantitatifs sur le retour à l'équilibre et la métastabilité. Nous commençons par l'étude du Laplacien de Witten, un opérateur autoadjoint. Notre approche consiste à adapter des constructions de quasimodes à notre cadre non Morse. Sous une hypothèse générique sur le potentiel dégénéré, nous parvenons à établir la description spectrale recherchée. Nous nous intéressons ensuite à l'opérateur de Fokker-Planck avec des coefficients dégénérés généralisés. Cette dégénérescence s'entend au sens où le symbole microlocal de l'opérateur n'est plus localement quadratique. En nous appuyant sur les résultats obtenus pour le Laplacien de Witten, nous surmontons les difficultés analytiques induites par cette dégénérescence. Notre stratégie repose en partie sur des estimations de la résolvante obtenues par des méthodes hypocoercives. Là encore, nous parvenons à établir une formule de type Eyring-Kramers pour le spectre de cet opérateur.