ED Mathématiques et Informatique
Etude d'objets combinatoires en dimension supérieure
par Thomas MULLER (LaBRI - Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique)
Cette soutenance a lieu à 14h00 - Amphithéâtre du LABRI Université de Bordeaux, 351 cours de la Libération, Bâtiment A30, 33405 Talence
devant le jury composé de
- Adrian TANASA - Professeur - Université de Bordeaux - Directeur de these
- Frédérique BASSINO - Professeure - Université Sorbonne Paris Nord - Examinateur
- Valentin BONZOM - Professeur - Université Gustave Eiffel - Examinateur
- Frédéric PATRAS - Directeur de recherche - Université Côte d'Azur - Examinateur
- Jean-François MARCKERT - Directeur de recherche - Université de Bordeaux - Examinateur
- Kasia REJZNER - Professor - University of York - Examinateur
- Razvan GURAU - Professor - Universität Heidelberg - Rapporteur
- Eric FUSY - Directeur de recherche - Université Gustave Eiffel - Rapporteur
Dans cette thèse, nous nous intéressons à des généralisations en dimensions supérieure de différents objets combinatoires: les permutations, les cartes et les rectangulations. L'objectif général de celle-ci, est de développer des outils combinatoires permettant de mieux comprendre ces objets de dimension supérieure. Le premier axe de cette thèse est consacré à l'analyse combinatoire des modèles de tenseurs aléatoires. Les graphes de Feynman de ces modèles sont des graphes $D+1-$colorés qui généralisent les cartes combinatoires. L'analyse présentée ici se concentre sur les modèles de tenseurs dont les interactions sont d'ordre six ou plus. Nous étudions tout d'abord l'expansion en 1/N, où N est la taille des tenseurs, du modèle sextique $O(N)^3$ qui généralise de manière non-triviale le modèle sextique U(N)^3. Certaine interactions présentes dans ce modèle donnent lieu à une structure des graphes dominant drastiquement différente de celles observées dans des modèles précédemment étudiés. Nous étudions ensuite une seconde expansion asymptotique dite double limite d'échelle. Nous implémentons celle-ci pour le modèle de tenseurs prismatique, une version restreinte du modèle O(N)^3 sextique où l'on ne considère qu'une seule interaction dite prismatique. L'étude de cette expansion recquiert d'étudier des graphs d'ordre non dominant de l'expansion en 1/N, dont la structure n'est généralement pas connue. Nous utilisons pour cela la décomposition en schéma, celle-ci nous permet de caractériser la structure des graphes dominant dans la double limite d'échelle et de déterminer la contribution principale à la fonction à deux points dans cette expansion. Par ailleurs, nous nous intéressons à des propriétés de dualités entre différents modèles de tenseurs, dont les symétries sont déterminées par les groupes O(N) et Sp(N). Nous prouvons que le changement N à -N, permet d'associer les amplitudes des graphes de Feynman d'un modèle à celle d'un autre. Nous prouvons que cette dualité tient pour des modèles possédant des interactions de n'importe quel ordre. Le second axe de cette thèse porte sur l'étude des d-rectangulations et des d-permutations qui généralisent les rectangulations et les permutations en dimensions supérieures. Une rectangulation est une partition d'un rectangle par des rectangles sans espaces vide tel qu'aucun des segments induits par ce partitionnage ne se croisent. De manière similaire, une rectangulation d-dimensionelle est une partition d'un hypperectangle d-dimensionels en n hypperectangles d-dimensionels disjoints et sans espaces vides. Ce partitionnage induit des bordures, qui sont des hyperrectangles (d-1)-dimensionels. Une d-rectangulation, est alors une rectangulation d-dimensionelle pour laquelle aucune bordures ne se croisent. Une d-permutation est quant à elle un couple de d-1 permutations pouvant être représentées par un diagramme de points d-dimensionels. Nous construisons tout d'abord un arbre de génération des d-rectangulations. La structure de cet arbre de génération généralise celle de l'arbre des rectangulations. Les étiquettes correspondantes et la règle de réécriture de cet arbre sont significativement plus complexes pour les d-rectangulations. Cela nous permet d'obtenir les premiers nombres des séquences d'énumération des d-rectangulations, qui ne correspondent à aucune séquence connue. Ensuite, nous établissons une bijection entre les 2^{d-1}-rectangulations et une classe de d-permutations à motifs exclus. Cette bijection généralise la correspondance connue entre les rectangulations et les permutations de Baxter. Cette classe de $d$-permutation constitue un sous ensemble des $d$-permutations de Baxter introduites par N. Bonichon and P.-J. Morel, {it J. Integer Sequences} 25 (2022) et contient les $d$-permutations séparable introduites par Asinowski and Mansour.