ED Mathématiques et Informatique
Régularisation et structuration des a priori projectifs profonds pour les problèmes inverses en imagerie
par Ali JOUNDI (IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux)
Cette soutenance a lieu à 10h00 - Salle de conférences Institut de Mathématiques de Bordeaux UMR 5251 Université de Bordeaux 351, Cours de la Libération F-33405 TALENCE
devant le jury composé de
- Yann TRAONMILIN - Chargé de recherche - IMB, CNRS, Bordeaux - CoDirecteur de these
- Jalal FADILI - Professor - GREYC , ENSICAEN - Rapporteur
- Nelly PUSTELNIK - Directrice de recherche - Laboratoire de Physique,CNRS, ENS de Lyon - Rapporteur
- Audrey GIREMUS - Professeure - IMS, Université de Bordeaux - Examinateur
- Christophe KERVAZO - Maître de conférences - LTCI, Telecom Paris - Examinateur
- Alasdair NEWSON - Maître de conférences - ISIR, Sorbonne université - CoDirecteur de these
De nombreuses tâches cruciales en traitement d'images et en vision par ordinateur sont formulées comme des problèmes inverses. Il est donc essentiel de concevoir des algorithmes efficaces et robustes pour résoudre ces problèmes. Dans ce travail, nous nous intéressons aux algorithmes de descente de gradient projetée généralisée (Generalized Projected Gradient Descent, GPGD), dans lesquels les projections généralisées sont implémentées à l'aide de réseaux de neurones appris, qui fournissent des résultats à l'état de l'art pour les problèmes inverses en imagerie. En effet, les réseaux de neurones permettent de réaliser des projections sur des ensembles inconnus de faible dimension modélisant des données complexes, telles que les images. Nous appelons ces projections des modèles a priori projectifs profonds (deep projective priors). Le choix de ces derniers, dans un cadre de GPGD, est crucial pour la reconstruction de l'image originale. Dans ce travail, nous proposons de contraindre et de régulariser deux types de modèles a priori projectifs profonds — les autoencodeurs et les débruiteurs — afin de résoudre des problèmes inverses en imagerie. Dans un premier temps, nous considérons une version améliorée de l'autoencodeur atomique, une architecture de réseau de neurones qui décompose initialement une image en une somme d'atomes de faible dimension. Plus précisément, nous définissons un nouveau modèle atomique, le modèle de parcimonie-max (max-sparsity model), afin de mieux représenter les images qui sont mal modélisées par le modèle classique de sommation. Nous étudions expérimentalement la manière dont les images d'entrée sont décomposées et implémentons ces autoencodeurs atomiques dans un algorithme de GPGD pour résoudre un problème inverse de super-résolution, illustrant ainsi l'intérêt d'un modèle a priori plus précis. Ensuite, nous nous intéressons à l'influence du modèle a priori projectif profond sur la convergence du GPGD. Il a été montré que, sous une hypothèse d'isométrie restreinte et une hypothèse de Lipschitz restreinte portant sur les projections utilisées, cet algorithme converge linéairement et atteint une convergence quasi optimale pour la projection orthogonale et (au sein des méthodes GPGD) dans le cadre classique de la reconstruction parcimonieuse. Toutefois, pour des modèles a priori projectifs profonds entraînés à l'aide de fonctions de pertes classiques de type erreur quadratique moyenne (MSE), il existe peu de garanties que les hypothèses nécessaires à une convergence linéaire soient satisfaites. Nous proposons ainsi une régularisation orthogonale stochastique de la fonction de perte utilisée pour l'apprentissage des modèles a priori projectifs profonds. Cette régularisation est motivée par nos résultats théoriques : une approximation suffisamment précise de la projection orthogonale garantit une reconstruction stable et une convergence linéaire, avec des performances proches de celles du PGD orthogonale. Nous montrons que cette régularisation produit des projections améliorant la vitesse de convergence et la robustesse du GPGD dans des contextes de problèmes inverses très mal posés, et en accord avec nos résultats théoriques. Enfin, nous étendons les résultats de convergence précédents afin d'inclure la robustesse aux erreurs de modèle et de projection. Nous exploitons ces résultats pour explorer différentes approches permettant de mieux contrôler les constantes de stabilité et de robustesse. Afin de réduire les erreurs de reconstruction dues au bruit de mesure, nous considérons des stratégies de rétroprojection généralisée permettant d'adapter le GPGD à des bruits structurés, tels que des valeurs aberrantes parcimonieuses (sparse outliers). Pour améliorer la stabilité du GPGD, nous proposons une régularisation idempotente normalisée pour l'apprentissage des modèles a priori projectifs profonds. Ces contributions mettent en évidence les différents compromis entre identifiabilité et stabilité.