ED Mathématiques et Informatique
Propriétés spectrales d'opérateurs de Dirac sur certains domaines
par Mahdi ZREIK (IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux)
Cette soutenance a lieu à 14h00 - Salle de conférences Institut de Mathématiques de Bordeaux UMR 5251, A33 Université de Bordeaux 351, cours de la Libération - F 33 405 TALENCE
devant le jury composé de
- El Maati OUHABAZ - Professeur des universités - Institut de Mathématiques de Bordeaux - Examinateur
- Nicolas RAYMOND - Professeur des universités - Université d'Angers - LAREMA - Rapporteur
- David KREJCIRIK - Professor - Czech Technical University in Prague - Rapporteur
- Luca FANELLI - Full professor - Universidad del Pais Vasco (UPV/EHU) - Examinateur
- Pablo MIRANDA - Associate Professor - Université de Santiago, Chili - Examinateur
Cette thèse se focalise sur l'étude spectrale des modèles de perturbations de l'opérateur de Dirac libre en dimensions 2 et 3. Le premier chapitre de cette thèse étudie la perturbation de l'opérateur de Dirac par une grande masse M, supportée sur un domaine. Notre objectif principal est d'établir, sous la condition d'une masse M suffisamment grande, la convergence de l'opérateur perturbé vers l'opérateur de Dirac avec la condition au bord MIT bag, au sens de la norme de la résolvante. Pour se faire, nous introduisons ce que nous appelons les opérateurs Poincaré-Steklov (PS) (comme un analogue des opérateurs Dirichlet-to-Neumann pour l'opérateur de Laplace) et les analysons d'un point de vue microlocal, afin de comprendre précisément le taux de convergence de la résolvante. D'une part, nous montrons que les opérateurs PS s'intègrent dans le cadre des opérateurs pseudodifférentiels et nous déterminons leurs symboles principaux. D'autre part, comme nous nous intéressons principalement aux grandes masses, nous traitons notre problème du point de vue semiclassique, où le paramètre semiclassique est h = M^{-1}. Enfin, en établissant une formule de Krein reliant la résolvante de l'opérateur perturbé à celle de l'opérateur MIT bag, et en utilisant les propriétés pseudodifférentielles des opérateurs PS combinées aux structures matricielles des symboles principaux, nous établissons la convergence requise avec un taux de convergence de O(M^{-1}. Dans le chapitre 2, nous définissons un voisinage tubulaire de la frontière d'un domaine régulier donné. Nous considérons la perturbation de l'opérateur de Dirac libre par une grande masse $M$, supportée dans ce voisinage d'épaisseur $varepsilon:=M^{-1}$. Notre objectif principal est d'étudier la convergence de l'opérateur de Dirac perturbé lorsque M tend vers l'infini. En comparaison avec la première partie, nous obtenons ici deux opérateurs limites MIT bag, qui agissent en dehors de la frontière. Il est intéressant de noter que le découplage de ces deux opérateurs MIT bag peut être considéré comme la version confinée de $delta$-interaction scalaire de Lorentz de l'opérateur de Dirac, supportée sur une surface fermée. La méthodologie suivie, comme au problème précédent, porte sur l'étude des propriétés pseudodifférentielles des opérateurs PS. Cependant, la nouveauté de ce problème réside dans le contrôle de ces opérateurs en suivant la dépendance du paramètre $varepsilon$, et par conséquent, dans la convergence lorsque $varepsilon$ tend vers 0 et M tend vers l'infini. Avec ces ingrédients, nous prouvons que l'opérateur perturbé converge au sens de la norme de la résolvante vers l'opérateur de Dirac couplé à une $delta$-interaction scalaire de Lorentz. Dans le chapitre 3, nous généralisation une approximation de l'opérateur de Dirac tridimensionnel couplé à une combinaison singulière de $delta$-interactions électrostatiques et scalaires de Lorentz supportée sur une surface fermée, par un opérateur de Dirac avec un potentiel régulier localisé dans une couche mince contenant la surface. Dans les cas non-critiques et non-confinants, nous montrons que l'opérateur de Dirac perturbé régulier converge au sens de la résolvante forte vers la $delta$-interaction singulière de l'opérateur de Dirac. Dans le dernier chapitre, notre étude porte sur l'opérateur de Dirac bidimensionnel couplé à une $delta$-interaction électrostatique et scalaire de Lorentz. Nous traitons dans des espaces de Sobolev d'ordre un-demi l'auto-adjonction de certaines réalisations de ces opérateurs dans divers contextes de courbes. Le cas le plus important se présente lorsque les courbes considérées sont des polygones curvilignes. Sous certaines conditions sur les constantes de couplage, en utilisant la propriété de Fredholm de certains opérateurs intégraux de frontière, et en exploitant la forme explicite de la transformée de Cauchy sur des courbes non lisses, nous établissons l'auto-adjonction de l'opérateur perturbé.